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tree 2019-07-01 12:00 2019-07-08 12:00 algorithm

1. tree

1.1. 树的定义

树(Tree)是n(n>=0)个节点的有限集。n=0时称为空树,

在任意一棵非空树中:

  • 有且仅有一个特定的称为根(Root)的节点;
  • 当n>1时,其余节点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,…Tn,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树(SubTree)。

树的定义其实就是我们在讲解栈时提到的递归的方法。也就是在树的定义之中还用到了树的概念,这是一种比较新的定义方法。

1.1.1. 节点分类

树的节点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。

节点拥有的子树数称为节点的度(Degree)。度为0的节点称为叶节点(Leaf)或终端节点;度不为0的节点称为非终端节点或分支节点。除根节点之外,分支节点也称为内部节点。树的度是树内各节点的度的最大值。

1.1.2. 节点间关系

节点的子树的根称为该节点的孩子(Child),相应的,该节点称为孩子的双亲(Parent)。

同一个双亲的孩子之间互称兄弟(Sibling)。

节点的祖先是从根到该节点所经分支上的所有节点。

以某节点为根的子树中的任一节点都称为该节点的子孙。

1.1.3. 树的其他相关概念

如果将树中节点的各子树看成从左至右是有次序的,不能互换的,则称该树为有序树,否则称为无序树。

森林(Forest)是m(m>=0)棵互不相交的树的集合。

1.2. 树的抽象数据类型

ADT 树(tree)
Data
    树是由一个根节点和若干棵子树构成。树中节点具有相同数据类型及层次关系。
Operation
    InitTree(*T): 构造空树T。
    DestroyTree(*T): 销毁树T。
    CreateTree(*T, definition): 按definition中给出树的定义来构造树。
    ClearTree(*T): 若树T存在,则将树T清为空树。
    TreeEmpty(T): 若T为空树,返回true,否则返回false。
    TreeDepth(T): 返回T的深度。
    Root(T): 返回T的根节点。
    Value(T, cur_e): cur_e是树T中一个节点,返回此节点的值。
    Assign(T, cur_e, value): 给树T的节点cur_e赋值为value。
    Parent(T, cur_e): 若cur_e是树T的非根节点,则返回它的双亲,否则返回空。
    LeftChild(T, cur_e): 若cur_e是树T的非叶节点,则返回它的右兄弟,否则返回空。
    RightSibling(T, cur_e): 若cur_e有右兄弟,则返回它的右兄弟,否则返回空。
    InsertChild(*T, *p, i, c): 其中p指向树T的某个节点,i为所指节点p的度加上1,非空树c与T不相交,操作结果为插入c为树T中p指节点的第i棵子树。
    DeleteChild(*T, *p, i): 其中p指向树T的某个节点,i为所指节点p的度,操作结果为删除T中p所指节点的第i棵子树。
endADT

1.3. 树的存储结构

三种不同的表示方法:

  • 双亲表示法
  • 孩子表示法
  • 孩子兄弟表示法

1.3.1. 双亲表示法

我们假设以一组连续空间存储树的节点,同时在每个节点中,附设一个指示器指示其双亲节点到链表中的位置。

其中data是数据域,存储节点的数据信息。而parent是指针域,存储该节点的双亲在数组中的下标。

/* 树的双亲表示法节点结构定义 */

#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType; /* 树节点的数据类型,目前暂定为整型 */

typedef struct PTNode /* 节点结构 */
{
    TElemType data; /* 节点数据 */
    int parent; /* 双亲位置 */
}PTNode;


typedef struct /* 树结构 */
{
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; /* 节点数组 */
    int r, n; /* 根的位置和节点数 */
} PTree;

存储结构的设计是一个非常灵活的过程。一个存储结构设计的是否合理,取决于基于该存储结构的运算是否适合,是否方便,时间复杂度好不好等。

1.3.2. 孩子表示法

每个节点有多个指针域,其中每个指针指向一棵子树的根节点,我们把这种方法叫做多重链表表示法。

1.3.3. 孩子兄弟表示法

任意一棵树,它的节点的第一个孩子如果存在就是唯一的,它的右兄弟如果存在也是唯一的。因此,我们设置两个指针,分别指向该节点的第一个孩子和此节点的右兄弟。

1.4. 二叉树的定义

二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个节点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根节点和两棵互不相交的,分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成。

1.4.1. 二叉树的特点

二叉树的特点有:

  • 每个节点最多有两棵子树,所以二叉树中不存在度大于2的节点。注意不是只有两棵子树,而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的。
  • 左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒。
  • 即使树中某节点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树具有五种基本形态:

  1. 空二叉树
  2. 只有一个根结点
  3. 根节点只有左子树
  4. 根节点只有右子树
  5. 根节点既有左子树又有右子树

1.4.2. 特殊二叉树

斜树

所有的节点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有节点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

满二叉树

在一棵二叉树中,如果所有分支节点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。

满二叉树的特点有:

  • 叶子只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达成平衡
  • 非叶子节点的度一定是2.否则就是“缺胳膊少腿”了。
  • 在同样深度的二叉树中,满二叉树的节点个数最多,叶子数最多。

完全二叉树

对一棵具有n个节点的二叉树按层序编号,如果编号为i(1<=i<=n)的节点与同样深度的满二叉树中编号为i的节点在二叉树中位置完全相同,则这课二叉树称为完全二叉树。

这是一种有些理解难度的特殊二叉树。

首先从字面上要区分,“完全”和“满”的差异,满二叉树一定是一棵完全二叉树,但完全二叉树不一定是满的。

完全二叉树的特点:

  • 叶子节点只能出现在最下两层
  • 最下层的叶子一定集中在左部连续位置
  • 倒数二层,若有叶子节点,一定都在右部连续位置
  • 如果节点度为1,则该节点只有左孩子,则不存在只有右子树的情况
  • 同样节点数的二叉树,完全二叉树的深度最小。

1.4.3. 二叉树的性质

  • 性质1:在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点(i>=1)
  • 性质2:深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点(k>=1)
  • 性质3:对任何一棵二叉树T,如果其终端节点数为n0, 度为2的节点数为n2,则n0=n2+1。
  • 性质4:具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n] +1([x]表示不大于x的最大整数)
  • 性质5:如果对一棵有n个节点的完全二叉树(其深度为[logxn]+1)的节点按层序编号(从第1层到第[log2n]+1层,每层从左到右),对任一节点i(1<=i<=n)有: 1)如果i=1, 则节点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲是节点[i/2]。 2)如果2i>n,则节点i无左孩子(节点i为叶子节点);否则其左孩子是节点2i。 3)如果2i+1>n, 则节点i无右孩子;否则其右孩子是节点2i+1。

1.4.4. 二叉树的存储结构

二叉树顺序存储结构

二叉链表

二叉树每个节点最多有两个孩子,所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法,我们称这样的链表叫做二叉链表。

/* 二叉树的二叉链表节点结构定义 */

typedef struct BiTNode /* 节点结构 */
{
    TElemType data; /* 节点数据 */
    struct BiTNode *lchild, *rchild; /* 左右孩子指针 */
} BiTNode, *BiTree;

1.4.5. 遍历二叉树

二叉树的遍历(traversing binary tree)是指从根节点触发,按照某种次序依次访问二叉树中所有节点,使得每个节点被访问一次且仅被访问一次。

两个关键词:访问 ,次序。

二叉树遍历方法

  1. 前序遍历

规则是若二叉树为空,则空操作返回,否则先访问根节点,然后前序遍历左子树,再前序遍历右子树。

  1. 中序遍历

规则是若树为空,则空操作返回,否则从根节点开始(注意并不是县访问根节点),中序遍历根节点的左子树,然后是访问根节点,最后中序遍历右子树。

  1. 后序遍历

规则是若树为空,则空操作返回,否则从左到右先叶子后节点的方式遍历访问左右子树,最后是访问根节点。

  1. 层序遍历

规则是若树为空,则空操作返回,否则从树的第一层,也就是根节点开始访问,从上而下逐层遍历,在同一层中,按从左到右的顺序对节点逐个访问。

推导遍历结果

已知前序和后序遍历,是不能确定一棵二叉树的。

1.4.6. 线索二叉树

1.4.7. 树,森林与二叉树的转换

1.4.8. 赫夫曼树及其应用

1.5. 总结回顾

2. 参考资料

2.1. books

  • 《大话数据结构》

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