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algorithm 2019-07-01 12:00 2019-07-01 12:00 algorithm

1. 算法

算法(Algorithm)是解决特定问题求解步骤的描述,在计算机中表现为指令的有限序列,并且每条指令表示一个或多个操作。

1.1. 算法的特性

算法具有五个基本特性:输入,输出,有穷性,明确性,可行性。

  • 输入输出:算法具有零个或多个输入。算法至少有一个或多个输出。
  • 有穷性:算法在执行有限的步骤之后,自动结束而不会出现无限循环,并且每一个步骤在可接受的时间内完成。
  • 确定性:算法的每一步骤都具有确定的含义,不会出现二义性。
  • 可行性:算法的每一步都必须是可行的,也就是说,每一步都能够通过执行有限次数完成。

1.2. 算法设计的要求

  • 正确性:算法的正确性是指算法至少应该具有输入,输出和加工处理无歧义性,能正确反映问题的需求,能够得到问题的正确答案,
  • 可读性:算法设计的另一目的是为了便于阅读,理解和交流。
  • 健壮性:当输入数据不合法时,算法也能做出相关处理,而不是产生异常或莫名其妙的结果。
  • 时间效率高和存储量低:设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。
    • 时间效率:指的是算法的执行时间,对于同一个问题,如果有多个算法能够解决,执行时间短的算法效率高,执行时间长的效率低。
    • 存储量需求:指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间,主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。

1.3. 算法效率的度量方法

  • 事后统计方法:这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据,利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较,从而确定算法效率的高低。
  • 事前分析估算法:在计算机程序编制前,依据统计方法对算法进行估算。

1.4. 函数的渐进增长

函数的渐进增长:给定两个函数f(n)和g(n),如果存在一个整数N,使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大,那么,我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

判断一个算法的效率时,函数中的常数和其他次要项常常可以忽略,而更应该关注主项(最高阶项)的阶数。

某个算法,随着n的增大,它会越来越优于另一算法,或者越来越差于另一算法。

这其实就是事前估算方法的理论依据,通过算法时间复杂度来估算算法时间效率。

1.5. 算法时间复杂度

在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度,记作:T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐近时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法,我们称之为 大O记法。

一般情况下,随着n的增大,T(n)增长最慢的算法为最优算法。

显然,由此算法时间复杂度的定义可知,我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(n), O(1), O(n^2)。我们分别给它们取了非官方的名称,O(1)叫常数阶,O(n)叫线性阶,O(n^2)叫平方阶,当然,还有其他的一些阶,我们之后会介绍。

1.5.1. 推导大O阶方法

推导大O阶:

  1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
  2. 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
  3. 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。

1.5.2. 常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面的算法,也就是刚才的第二种算法(高斯算法),为什么时间复杂度不是O(3)而是O(1)。

int sum = 0, n = 100; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行一次 */
printf("%d", sum); /* 执行一次 */

这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据我们推导大O阶的方法,第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现,它根本没有最高阶项,所以这个算法的时间复杂度为O(1)。

另外,我们试想一下,如果这个算法当中的语句sum=(1+n)*n/2有10句,即:

int sum = 0, n = 100; /* 执行一次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行第1次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行第2次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行第3次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行第4次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行第5次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行第6次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行第7次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行第8次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行第9次 */
sum = (1 + n) * n / 2; /* 执行第10次 */
printf("%d", sum); /* 执行一次 */

事实上无论n为多少,上面的两段代码就是3次和12次执行的差异。这种与问题的大小无关(n的多少),执行时间恒定的算法,我们称之为具有O(1)的时间复杂度,又叫常数阶。

注意:不管这个常数是多少,我们都记作O(1),而不能是O(3),O(12)等其他任何数字,这是初学者常常犯的错误。

对于分支结构而言,无论是真,还是假,执行的次数都是恒定的,不会随着n的变大而发生变化,所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中),其时间复杂度也是O(1)。

1.5.3. 线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次,我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。

因此,我们要分析算法的复杂度,关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码,它的循环的时间复杂度为O(n), 因为循环体中的代码须要执行n次。

int i;
for (i = 0; i < n; i++)
{
    /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

1.5.4. 对数阶

下面的这段代码,时间复杂度又是多少呢?

int count = 1;
while (count < n)
{
    count = count * 2;
    /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
}

由于每次count乘以2之后,就距离n更近了一分。也就是说,有多少个2相乘后大于n,就会退出循环。由2^x=n得到x=log2n. 所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

1.5.5. 平方阶

下面例子是一个循环嵌套,它的内循环刚才我们已经分析过,时间复杂度为O(n)。

int i,j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
    for (j = 0; j < n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

而对于外层的循环,不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句,再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

如果外循环的循环次数改为了m,时间复杂度就变为O(m*n)。

int i,j;
for (i = 0; i < m; i++)
{
    for (j = 0; j < n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

所以我们可以总结得出,循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

那么下面这个循环嵌套,它的时间复杂度是多少呢?

int i,j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
    for (j = i; j < n; j++) /* 注意j = i 而不是0 */
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

由于当i=0时,内循环执行了n次,当i=1时,执行了n-1次,…当i=n-1时,执行了1次。所以总的执行次数为: n + (n - 1) + (n - 2) + ...+ 1 = n(n + 1) / 2 = n^2/2 + n/2

用我们推导大O阶的方法,第一条,没有加法常数不予考虑;第二条,只保留最高阶项,因此保留n^2/2;第三条,去除这个项相乘的常数,也就是去除1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

从这个例子,我们也可以得到一个经验,其实理解大O推导不算难,难的是对数列的一些相关运算,这更多的是考察你的数学知识和能力。

我们继续看例子,对于方法调用的时间复杂度又如何分析。

int i,j;
for (i = 0; i < n; i++)
{
    function(i);
}


void function (int count)
{
    print(count);
}

函数体是打印这个参数。其实这很好理解,function函数的时间复杂度是O(1)。所以整体的时间复杂度为O(n)。

加入function是下面这样的:

void function(int count)
{
    int j;
    for (j = count; j < n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

事实上,这和刚才举的例子是一样的,只不过把嵌套内循环放到了函数中,所以最终的时间复杂度为O(n^2)。

下面这段相对复杂的语句:

n++; /* 执行次数为1 */
function(n); /* 执行次数为n */
int i,j;
for (i = 0; i < n; i++) /* 执行次数为n^2 */
{
    function(i);
}
for (i = 0; i < n; i++) /* 执行次数为n(n + 1)/2 */
{
    for (j = i; j < n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

它的执行次数f(n) = 1 + n + n^2 + n(n+1)/2 = 3/2 n^2 + 3/2 n + 1, 根据推导大O阶的方法,最终这段代码的时间复杂度也是O(n^2)。

1.5.6. 常见的时间复杂度

常见的时间复杂度如表2-10-1所示。

常用的时间复杂度所耗费的时间从大到小依次是:

1.5.7. 最坏情况与平均情况

算法的分析也是类似,我们查找一个有n个随机数字数组中的某个数字,最好的情况是第一个数字就是,那么算法的时间复杂度为O(1),但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着,那么算法的时间复杂度就是O(n), 这是最坏的一种情况了。

  • 最坏情况运行时间是一种保证,那就是运行时间将不会再坏了。在应用中,这是一种最重要的需求,通常,除非特别指定,我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
  • 而平均运行时间也就是从概率的角度看,这个数字在每一个位置的可能性是相同的,所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。
  • 平均运行时间是所有情况中最有意义的,因为它是期望的运行时间。

对算法的分析,

  • 一种方法是计算所有情况的平均值,这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。
  • 另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度,这种方法称为最坏时间复杂度。
  • 一般在没有特殊说明的情况下,都是指最坏时间复杂度。

1.5.8. 算法空间复杂度

我们在写代码时,完全可以用空间来换时间。

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现,算法空间复杂度的计算公式记作:S(n)=O(f(n)),其中,n为问题的规模,f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

一般情况下,一个程序在机器上执行时,除了需要存储程序本身的指令,常数,变量和输入数据外,还需要存储对数据操作的存储单元。

若输入数据所占空间只取决于问题本身,和算法无关,这样只需要分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。

若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数,则称此算法为原地工作,空间复杂度为O(1)。

通常,我们都是用”时间复杂度“来指运行时间的需求,使用”空间复杂度“指空间需求。

当不用限定词的使用”复杂度“时,通常都是指时间复杂度。显然我们这本书重点要讲的还是算啊发的时间复杂度问题。

1.6. 总结

主要谈了算法的一些基本概念。谈到了数据结构与算法的关系是相互依赖不可分割的。

算法的定义:算法是解决特定问题求解步骤的描述,在计算机中为指令的有限序列,并且每条指令表示一个或多个操作。

算法的特性:有穷性,确定性,可行性,输入,输出。

算法的设计的要求:正确性,可读性,健壮性,高效率和低存储量需求。

算法特性与算法设计的要求 容易混, 需要对比记忆。

算法的度量方法:事后统计方法(不科学,不准确),事前分析估算方法。

函数的渐近增长:给定两个函数f(n)和g(n), 如果存在一个整数N,使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大,那么,我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。于是我们可以得出一个结论,判断一个算法好不好,我们只通过少量的数据是不能做出准确判断的,如果我们可以对比算法的关键执行次数函数的渐近增长性,基本就可以分析出:某个算法,随着n的变大,它会越来越优于另一算法,或者越来越差于另一算法。

然后给出了算法时间复杂度的定义和推导大O阶的步骤。

推导大O阶:

  • 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
  • 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项
  • 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。

通过这个步骤,我们可以在得到算法的运行次数表达式后,很快得到它的时间复杂度,即大O阶。同时也提醒了大家,其实推导大O阶很容易,但如何得到运行次数的表达式却是需要数学功底的。

接着我们给出了常见的时间复杂度所消耗时间的大小排列:

最后,我们给出了关于算法最坏情况和平均情况的概念,以及空间复杂度的概念。

2. 参考资料

2.1. books

  • 《大话数据结构》

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